數學 B1 P84–P88｜國一完整解題

分數 k85＋k 要是最簡分數，分子 k 和分母 85＋k 必須互質。

如果某個整數同時整除 k 和 85＋k，
那麼它也一定能整除：
(85＋k)－k＝85。

反過來，如果某個整數同時整除 k 和 85，
它也會整除 85＋k。

所以，k 和 85＋k 有沒有公因數，等同於 k 和 85 有沒有公因數。

85＝5×17。
因此只要 k 不是 5 的倍數，也不是 17 的倍數，這個分數就是最簡分數。

1～1000 中：
5 的倍數有：1000÷5＝200（個）
17 的倍數有：1000÷17＝58……14，所以有 58（個）
同時是 5 與 17 倍數，也就是 85 的倍數：1000÷85＝11……65，所以有 11（個）

先從 1000 個中扣掉 5 的倍數與 17 的倍數，
但 85 的倍數被重複扣了兩次，所以要加回一次：
1000－200－58＋11
＝800－58＋11
＝742＋11
＝753。

所以最簡分數共有 753 個。

先找最大值。

比較 1939 和 1225：
19×25＝475
12×39＝468
因為 475＞468，
所以 1939＞1225。

另外 1124 與 1129 分子相同，
分母較小的分數較大，所以：
1124＞1129。

再比較 1225 和 1124：
12×24＝288
11×25＝275
所以 1225＞1124。

因此最大值是 1939，最小值是 1129。

兩者相減：
1939－1129
＝19×29－11×3939×29
＝551－4291131
＝1221131。

122＝2×61，1131 不能被 2 或 61 整除，已是最簡分數。

答案為 1221131。

從原分數倒過來看：
135＝2＋35。

而：
35＝153。

再看：
53＝1＋23
＝1＋132。

再看：
32＝1＋12。

所以：
135 ＝2＋11＋11＋12。

整體取倒數後：
513 ＝12＋11＋11＋12。

逐層對照題目的甲、乙、丙、丁：
甲＝2
乙＝1
丙＝1
丁＝2。

(2) 先求最大值。
要讓「第一個分數－第二個分數」最大，第一個分數要盡量大，第二個分數要盡量小。

用 2、3、4、5 能組出的最大分數是：
52。
剩下 3、4，只能把較小的分數放在後面：
34。

所以可得到：
52－34
＝104－34
＝74。

確認其他情況不會更大：
若第一個分數不是 52，能用 2 當分母的次大分數只有 42＝2；
這時剩下 3、5，第二個分數最小只能是 35，
差為 2－35＝75，比 74 小。
其餘第一個分數都小於 2，更不可能超過 74。

所以最大值＝74。

(1) 求最小值。
把剛才兩個分數交換位置，差就會變成相反數：
34－52
＝34－104
＝−74。

因此：
(1) 最小值＝−74
(2) 最大值＝74。

先算全部的和。
2、4、6、8、10、12 的最小公倍數是 120。

12＝60120
14＝30120
16＝20120
18＝15120
110＝12120
112＝10120。

全部相加：
60＋30＋20＋15＋12＋10120
＝147120
＝4940。

希望剩下等於 1＝4040，
因此要刪掉：
4940－1
＝940
＝27120。

在原來各項中：
18＋110
＝15120＋12120
＝27120。

所以要刪去 18 和 110。

(1)
每一項都拆成「1＋一個小分數」：
32＝1＋12
54＝1＋14
98＝1＋18
1716＝1＋116
3332＝1＋132
6564＝1＋164。

所以原式：
＝6＋(12＋14＋18＋116＋132＋164)－7
＝−1＋(3264＋1664＋864＋464＋264＋164)
＝−1＋6364
＝−164。

所以 (1)＝−164。

(2)
不要照原本括號算，改成「分母相同的放在一起」。

分母是 2 的只有：12＝12。
分母是 3 的有：13＋23＝1。
分母是 4 的有：1＋2＋34＝64＝32。

依此類推，分母是 60 的那一組：
1＋2＋3＋……＋5960。

先算 1＋2＋……＋59：
(1＋59)、(2＋58)、……、(29＋31) 各為 60，共 29 組，另外還有中間的 30。
所以：
1＋2＋……＋59
＝29×60＋30
＝1740＋30
＝1770。

因此分母 60 那組＝177060＝592。

整題就變成：
12＋22＋32＋……＋592
＝1＋2＋3＋……＋592
＝17702
＝885。

所以 (2)＝885。

觀察每一個括號。

例如分母是 6 的一組：
16＋36＋56
＝1＋3＋56
＝96
＝32。

一般來看，分母是 2n 時，分子是：
1、3、5、……、2n－1，共有 n 個。

把第一個和最後一個配對：
1＋(2n－1)＝2n。
第二個和倒數第二個也等於 2n。

所以這一整組分數的和會等於 n2。
（若 n 是奇數，中間那一項就是 n2n＝12，結果仍相同。）

因此原式變成：
12＋22＋32＋……＋492
＝1＋2＋3＋……＋492。

計算 1＋2＋……＋49：
(1＋49)、(2＋48)、……、(24＋26) 都是 50，共 24 組，另外有中間的 25。
所以：
1＋2＋……＋49
＝24×50＋25
＝1200＋25
＝1225。

所以原式＝12252。

設原來三個「帶著正負號」的分數分別是 a、b、c。
正確的和是：
a＋b＋c。

大同只把第 1 個分數的正負號看反，所以他的結果是：
−a＋b＋c＝−4 23。

志一只把第 2 個分數看反：
a−b＋c＝−9 25。

小文只把第 3 個分數看反：
a＋b−c＝7 14。

把三個錯誤結果全部相加：
(−a＋b＋c)＋(a−b＋c)＋(a＋b−c)
＝a＋b＋c。

剛好就是正確的和！

所以正確和＝
−4 23－9 25＋7 14。

化成假分數：
−4 23＝−143
−9 25＝−475
7 14＝294。

通分成 60：
−143＝−28060
−475＝−56460
294＝43560。

相加：
−280－564＋43560
＝−40960
＝−6 4960。

先注意：
3958－244＝3714。

分母：
244＋3958×243
＝244＋3958×(244－1)
＝244＋3958×244－3958
＝244×3958＋244－3958
＝244×3958－3714。

而分子：
3714－244×3958
＝−(244×3958－3714)。

所以原分數：
−(244×3958－3714)244×3958－3714
＝−1。

因為 a≠0：
如果 a＞0，a|a|＝1；
如果 a＜0，a|a|＝−1。

b、c 也一樣。
而 abc|abc| 的正負，就由 abc 的正負決定。

分情況看 a、b、c 中有幾個負數：

0 個負數：
1＋1＋1＋1＝4。

1 個負數：
例如 −1＋1＋1−1＝0。

2 個負數：
例如 −1−1＋1＋1＝0。

3 個負數：
−1−1−1−1＝−4。

所以最大值 m＝4，最小值 n＝−4。

m＋n＋1
＝4＋(−4)＋1
＝1。

因此：
2022^m＋n＋1
＝2022¹
＝2022。

(1)
先化簡 m：
333333444444＝34，
所以 m＝−34。

比較 666667888889 和 34：
666667×4＝2666668
888889×3＝2666667。

因為 2666668＞2666667，
所以 666667888889＞34。

兩者都加負號後，大小方向相反：
−666667888889＜−34。

所以 m＞n。

(2)
先比較兩個正的絕對值：
2962 和 293031626160。

交叉相乘：
29×626160＝18158640
293031×62＝18167922。

18158640＜18167922，
所以：
2962＜293031626160。

加上負號後，大小方向相反：
−2962＞−293031626160。

所以 A＞B。

(1)
n 是自然數，所以 n＞0，且 n＋2＞n。
兩個分數分子都是 1，分母較小的分數較大。

因此：
1n＞1n＋2。

(2) 先證明 S＞0。
把相鄰兩項配成一組：
S＝(1－13)＋(15－17)＋(19－111)＋(113－115)。

每一組都是「較大的正分數－較小的正分數」，所以每一組都大於 0。
因此：
S＞0。

再證明 S＜1。
把 1 以外的部分改寫：
S＝1－[(13－15)＋(17－19)＋(111－113)＋115 ]。

中括號裡每一項都大於 0，
所以是「1 減去一個正數」。
因此：
S＜1。

合起來：
0＜S＜1。

分母中一共有：
1997－1980＋1＝18（項）。

先找這個分母的上界。
因為每一項都不大於 11980，而且除了第一項外都更小，
所以：
11980＋11981＋……＋11997
＜18×11980
＝181980
＝1110。

分母小於 1110，取倒數後：
A＞110。

再找分母的下界。
1980、1981、……、1997 都小於 1998，
所以每一項都大於 11998。

因此：
11980＋……＋11997
＞18×11998
＝181998
＝1111。

分母大於 1111，取倒數後：
A＜111。

所以：
110＜A＜111。

因此 A 的整數部分是 110。

把首尾配對：
11＋128 ＝2928。

12＋127 ＝2954。

一般來說：
1k＋129－k
＝(29－k)＋kk(29－k)
＝29k(29－k)。

所以原來 28 項可以配成 14 組：
(11＋128)＋(12＋127)＋(13＋126)＋(14＋125)＋(15＋124)＋(16＋123)＋(17＋122)＋(18＋121)＋(19＋120)＋(110＋119)＋(111＋118)＋(112＋117)＋(113＋116)＋(114＋115)

每一組的分子都有因數 29，
因此整個和可以寫成：
29×（另一個分數）。

接著要確認「約分時 29 不會被消掉」。

上面各分數的分母，都是由 1～28 的數相乘形成，
而 29 是質數，且 1～28 中沒有任何一個數能被 29 整除。
所以把這些分數通分後，共同分母也不會有因數 29。

因此前面的因數 29 不可能和分母約掉。
最後化成最簡分數 QP 時，分子 Q 仍一定保有因數 29。

所以 Q 可被 29 整除。

設第一個括號為 A。

把 A 看成「1 到 20 的全部倒數和」，再減掉兩次偶數分母的部分：
A
＝(11＋12＋13＋……＋120)
　－2×(12＋14＋16＋……＋120)。

而：
2×(12＋14＋……＋120)
＝1＋12＋13＋……＋110。

所以：
A
＝(11＋12＋……＋120)
　－(11＋12＋……＋110)
＝111＋112＋……＋120。

這正好就是第二個括號。

因此：
第一個括號 ÷ 第二個括號
＝同一個正數 ÷ 同一個正數
＝1。